Algèbre linéaire Exemples

[\begin{matrix} 2 & 1 3 & 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$

Étape 1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique

$p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{2})$

Étape 2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille

$2$ est la matrice carrée

$2 \times 2$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{2})$ .

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Étape 3.1

Remplacez

$A$ par

$[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] - λ I_{2})$

Étape 3.2

Remplacez

$I_{2}$ par

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez

$- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 4.1.2.1

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Étape 4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3

Simplify each element.

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Étape 4.3.1

Additionnez

$1$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.2

Additionnez

$3$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 3 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 5

Find the determinant.

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Étape 5.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) (2 - λ) - 3 \cdot 1$

Étape 5.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Développez

$(2 - λ) (2 - λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 2 (2 - λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot 1$

Étape 5.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot 1$

Étape 5.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

Étape 5.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.2.1.1

Multipliez

$2$ par

$2$ .

$p (λ) = 4 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

Étape 5.2.1.2.1.2

Multipliez

$- 1$ par

$2$ .

$p (λ) = 4 - 2 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

Étape 5.2.1.2.1.3

Multipliez

$2$ par

$- 1$ .

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

Étape 5.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 1$

Étape 5.2.1.2.1.5

Multipliez

$λ$ par

$λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.2.1.5.1

Déplacez

$λ$ .

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 1$

Étape 5.2.1.2.1.5.2

Multipliez

$λ$ par

$λ$ .

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 1$

Étape 5.2.1.2.1.6

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 1$

Étape 5.2.1.2.1.7

Multipliez

$λ^{2}$ par

$1$ .

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ + λ^{2} - 3 \cdot 1$

Étape 5.2.1.2.2

Soustrayez

$2 λ$ de

$- 2 λ$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ + λ^{2} - 3 \cdot 1$

Étape 5.2.1.3

Multipliez

$- 3$ par

$1$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ + λ^{2} - 3$

Étape 5.2.2

Soustrayez

$3$ de

$4$ .

$p (λ) = - 4 λ + λ^{2} + 1$

Étape 5.2.3

Remettez dans l’ordre

$- 4 λ$ et

$λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 1$

Étape 6

Définissez le polynôme caractéristique égal à

$0$ pour déterminer les valeurs propres

$λ$ .

$λ^{2} - 4 λ + 1 = 0$

Étape 7

Résolvez

$λ$ .

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Étape 7.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs

$a = 1$ ,

$b = - 4$ et

$c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour

$λ$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.1.1

Élevez

$- 4$ à la puissance

$2$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.2

Multipliez

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 7.3.1.2.1

Multipliez

$- 4$ par

$1$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.2.2

Multipliez

$- 4$ par

$1$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.3

Soustrayez

$4$ de

$16$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.4

Réécrivez

$12$ comme

$2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 7.3.1.4.1

Factorisez

$4$ à partir de

$12$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.4.2

Réécrivez

$4$ comme

$2^{2}$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$λ = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.2

Multipliez

$2$ par

$1$ .

$λ = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.3.3

Simplifiez

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$λ = 2 \pm \sqrt{3}$

Étape 7.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$λ = 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$λ = 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$

Forme décimale :

$λ = 3.73205080 \dots, 0.26794919 \dots$